Wie soll man diese Frage beantworten???
Auf deinen Bildern sieht man vom gesamten Antrieb nichts (Schaltwerk,Kassette z.B.)
Aber da du oben schreibst, dass die Kette manchmal beim Treten nicht greift, ist hier eher von einem verschlissenen Antrieb auszugehen.
Tippe mal auf die Kassette. Hol die neu, am besten eine neue Kette gleich dazu!
Der Zustand der Kettenblätter ist nicht so gut unter dem Dreck zu erkennen.